In the example of the lights in the hotel rooms, what is the initial state of all the lights?

וסיה המשועמם יושב ליד לוח שליטה ובקרה בעל 1000 מתגים שמדליקים אורות באלף חדרים בבית מלון ריק. כל האורות בחדרים מכובים. ווסיה מתחיל לשחק במשחק שבו הוא משנה את מצב המתג בצורה הבאה:במעבר הראשון הוא לוחץ על כל המתגים.במעבר השני רק על המתגים הזוגיים.במעבר השלישי לוחץ על כל מתג שלישי. וכך עד 1000. כמה חדרים יהיו האורות דלוקים בסוף התהליך? ומה מאפיין אותם? לפי הדוגמה נראה שכל הריבועים – למה? והאם זאת באמת התשובה? תחילה נפתור תת בעיה בגודל 10 אפשר גם 20 ננסה להבין למה דווקא ריבועים:מה מספר המחלקים של מספר? קודם ראשוני? ראשוני בחזקת N?מכפלה של שני ראשוניים בחזקות N,M?נפתח את הנוסחה הכללית. (נציין שאפשר להוכיח אותה באינדוקציה).מסקנה כל חזקה צריכה להיות זוגית, ולכן המספר כולו הוא ריבוע.